世上沒有正方形的蘋果

Fractal Geometry 碎形幾何

回到數學堂
「上底加下底乘高除二」，究竟係以下邊個形狀面積的公式?
A) 三角形
B) 正方形
C) 梯形

三角形，正方形，梯形，長方形等等被稱為「歐氏幾何」，簡單程度連小學生也懂得的數學概念，也許就是太簡單，跟複雜的自然世界相比， 「歐氏幾何」並未能讓我們從現實中體會， 自然界從未出現過三角形的蘋果、梯形的香蕉或者是長方形的浮雲。

碎形幾何
1960 年代數學家曼德伯(Benoit Mandelbrot)提出以「碎形幾何」(Fractal Geometry)描述現實中的自然世界，其著作The Fractal Geometry of Nature，一書風行，熱賣二十萬冊。運用Fractal Geometry可以準確描述海岸線、模擬山脈形狀，令人類多掌握一道自然世界的真理。

世界第一計量基金
金融海嘯，銀行倒閉，股票基金大跌五成甚至清盤都大有人在，唯James Simons的復興科技基金(Renaissance Technologies)成為大贏家，雄據基金排行榜之首， 基金由1999年起至此11年間回報達2400%，超越索羅斯同期1700%的表現，復興科技基金的策略極為神秘，而坊間所知的就是他們盈利源於交易採用複雜的數學模型而模型的基礎正正就是碎形幾何。

The (Mis)Behavior of Markets
如果之前有看過本Blog的黑天鵝系列，便會知道曼德伯他既是《黑天鵝效應》作者塔雷伯的師博外，更是提出股市走勢價格並非隨機波動的先驅者，曼德伯對市場有獨到見解，好以真實數據建立理論，多番成功挑戰以理論為先的傳統經濟學者，繼而成為新的經濟學派，最近曼伯德另一本金融著作The (Mis)Behavior of Markets推出平裝新版，大家可以多一個理由去選購它了。


真實與模擬的距離
最後，考考大家，下圖中有８個走勢波動圖表，請指出以下那些走勢波動是從真實市場抽取，那些是由數學模型建構出來？（提示：只有兩個是真實的）


答案在此

伸延閱讀:

1. 捕捉黑天鵝（1）
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Renaissance_Technologies
   

捕捉黑天鵝（1）

捕捉黑天鵝
突破高斯曲線網

捕捉黑天鵝（1）

來到黑天鵝的第三部，將會談論經濟物理的發展過程以及探討歸納出來的實際應用方法，從「隨機漫步理論」到「長尾理論」，展示市場的真正面貌，以事實振撼傳統經濟學的根基，標誌經濟物理學的掘起時代。

先說說標題命名，題目是「捕捉黑天鵝」、副題為「突破高斯曲線網」，聽起來有點矛盾，既然以撒網蓋捕黑天鵝，又怎麼會讓牠破網而逃？背後原因：撒網只是個晃子，目的是讓茁壯的黑天鵝破網而出，然後──鎗打出頭鳥。

隨機漫步
1900年，法國物理學家巴舍利耶(Louis Bachelier)提出一個劃時代的主張，認為股票、債券的價格波動以及它們的基本因素結構都是隨機變化。巴舍利耶將物理學概念發展成經濟模型，利用數學算式來描述價格波動的隨機變化，同時建構出隨機漫步理論，對經濟學有超卓的貢獻。


巴舍利耶的隨機漫步理論引伸到價格波動的變化可以鐘型曲線作描述。鐘型曲線，亦被世人稱為「高斯曲線」，是近一百年的驚世發現。「高斯曲線」之下，各情況出現的機會呈現稱之為常態分佈(normal distribution)，物件都傾向整體中的典型靠攏，比較異常的情況偶有出現，但一定是佔少數，而且終會走向均衡，人的身高、體重，總有些高矮肥瘦，但整體就是以這種形式配置，彷彿我們從造物者手裡得到一道絕世真理一樣，相信這個真理，採用隨機漫步理論的還有現代投資組合理論Modern Portfolio Theory、Black-Scholes期權定價模型以及Long-Term Capital Management (LTCM)

絕不隨機的隨機漫步終教經濟物理學踏出第一步。


萊維飛行

隨機漫步的美妙在於其從自然界的規律中提煉出高斯曲線，可是信奉隨機漫步的LTCM卻得到破產收場，顯然巴舍利耶的隨機漫步理論經不起事實的潮汐。

《黑天鵝效應》作者塔雷伯的師博，碎形理論之父曼德伯(Benoit Mandelbrot)看到棉花期貨價格的波動後，便知道隨機漫步理論並不能描述市場的真正情況。於1960年代曼德伯提出在小幅度的波動中，常態分佈無疑跟真實很接近，但當波動加劇，分佈則將會以「萊維飛行」(Levy flight)這種厚尾(Fat tail)形式呈現。

自然界中，一些動物如蜜蜂、鹿等都會以這種模式覓食，方式是牠們會先於小區域裡以隨機漫步找尋，當發現此區域沒有食物，牠們會快速移至另一區域，然後再作隨機漫步式搜索，擁有這種「跳躍」特性，相比徹頭徹尾連續步伐的隨機漫步，萊維飛行模式能盡早離開沒有食物的場所令覓食更見效率。


縱使曼德伯的萊維飛行主張獲得學術界認同，於金融操作上，當時普遍業界人士還是以隨機漫步的高斯分佈作為前題，這種不合真實情形的假設，埋下了日後蒸發數以百億元計的伏線。

（三部黑天鵝．第三篇未完．待續）

(第一篇：最賺錢的鵝)
(第二篇：黑天鵝的信徒)